1. Descripción de un sistema de medida y control

Un sistema es un conjunto de elementos o partes simples relacionadas entre sí con una función o acción determinadas. En el caso de los sistemas de medida esta función es medir. De esta forma, a gran escala, podemos enumerar los principios generales de un sistema de medida, que nos da una perspectiva un poco mas amplia del la finalidad de un sistema de medida. Asi tendremos:

Sensado: Esta función extrae la información referida a una propiedad del sistema físico dando una señal que tiene una relación de transferencia respecto a la propiedad a medir.

Acondicionamiento: Encargada de transformar la señal de sensado en otra de tipo electrónico (corriente, tensión, frecuencia) que sea más fácilmente tratable para las etapas de procesamiento.

Transmisión: Función en el sistema de medida consistente en la interconexión de las diferentes etapas con objeto que circule la información a su través.

Adquisición: Consiste en retener y codificar la información de forma conveniente para su tratamiento posterior.

Procesamiento: Consiste en extraer de la señal adquirida la información que se quiere presentar.
En función de la complejidad de esta información será necesario utilizar un procesamiento analógico o digital.

Registro: Las señales pueden ser registradas para su uso inmediato o para un tratamiento posterior.

Representación: Es la interfaz entre el sistema de medida y las facultades de percepción humanas. En ella, las unidades de representación visual analógica o digital, los monitores, registradores etc., son típicos representantes de esta función.

Alimentación energética: Encargada de suministrar el consumo energético del sistema de medida. Es una etapa alejada del proceso de medición y que suministra de forma estable y precisa el consumo energético requerido para el sistema de medida.

2. Identificación del sistema de medida y sus bloques constitutivos

La palabra Sistema se utiliza en muy diversas áreas, pero en todas ellas su definición podría ser: "Conjunto de dos o más elementos interconectados entre sí para formar un todo unificado que tiene por objeto realizar una o varias funciones". El Sistema de Medida y Control es aquel que realiza funciones de medición de magnitudes físicas, químicas, biológicas, … procesando estas informaciones para regular el funcionamiento del sistema físico que pretende controlar, según los datos obtenidos en el proceso de adquisición de datos y medición. que proporcionan información en tiempo real sobre el proceso. Esta información está compuesta por variables del proceso como temperaturas, niveles, caudales,etc., que son captadas por los sensores correspondientes, y por el estado de la maquinaria (marcha, paro, consumos,etc.).Algunos ejemplos de medida a efectuar por un sistema de control pueden ser: medida de la temperatura interna de un horno, medida de la posición o del esfuerzo en un brazo robot, etc. Podriamos representar mediante un pequeño diagrama la función que ejerce un sistema de control.

Toda medición exige tres funciones básicas: adquirir la información, mediante un elemento sensor o transductor, procesar dicha información y presentar los resultados, de forma que puedan ser percibidos por nuestros sentidos.

El esquema que presentamos a continuación es una visión esquematizada de un sistema de medida:

2.1. Definición de cada bloque constitutivo: Transductor, sensor, actuador, acondicionador

*Un Transductor es aquel dispositivo que transforma una magnitud física (mecánica, térmica, magnética, eléctrica, óptica, etc.) en otra magnitud, normalmente eléctrica. Es necesario diferenciar el elemento sensor del transductor, ya que este último es un dispositivo más complejo que puede incluir un amplificador, un conversor A/D, etc. El Sensor es el elemento primario que realiza la transducción, y por tanto, la parte principal de todo transductor.La señal de salida de los transductores suele ser eléctrica, ya que esto supone una serie de ventajas:

1) Debido a la estructura electrónica de la materia, cualquier variación de un parámetro no eléctrico de un material vendrá acompañada de la variación de un parámetro eléctrico. Escogiendo un material adecuado a cada caso, es posible realizar transductores con salida eléctrica para medir cualquier magnitud física.

2) Dado que no es conveniente absorber energía del sistema a medir, es muy ventajoso la utilización de transductores de salida eléctrica, que puede ser amplificada posteriormente.

3) Las señales eléctricas pueden ser filtradas, moduladas, etc. gracias al gran número de circuitos integrados que facilitan estos recursos.

4) Existen multitud de recursos para registrar y presentar información de forma electrónica (LEDs, displays, bancos de memoria, PCs,...).

5) La transmisión de señales eléctricas es más versátil que la de otro tipo de señales, como las neumáticas o hidráulicas, que requieren equipos más costosos y difíciles de mantener. No obstante, se utilizarán estos sistemas en lugares donde el riesgo de incendio o explosión lo requieran.

*Un sensor es un dispositivo que recibe una señal o estímulo y responde con una señal eléctrica. Esto es independiente de si el sensor requiere excitación o no para generar la señal eléctrica.

*Los Actuadores o Accionadores son aquellos elementos que realizan una conversión de energía con objeto de actuar sobre el sistema a controlar para modificar, inicializar y corregir sus parámetros internos. La actuación es la etapa final del proceso de control. Las órdenes son enviadas por el controlador y se aplican al sistema físico a través de los actuadores. Esta actuación modificará el estado del sistema, que volverá a ser medido por los transductores para realizar un nuevo bucle de control.

*Los Acondicionadores de Señal o adaptadores, son los elementos del sistema de medida y control que reciben la señal de salida de los transductores y la preparan de forma que sea una señal apta para usos posteriores (principalmente su procesado en un PLC o PC Industrial). Los acondicionadores no sólo amplifican la señal, sino que también pueden filtrarla, adaptar impedancias, realizar una modulación o demodulación, etc.

2.2. Conceptos generales sobre la medida

La resolución de un sistema es el menor cambio en la variable del proceso capaz de producir una salida perceptible en el instrumento. Se expresa en general como un porcentaje del Límite Superior de medición del instrumento ( valor a fondo de escala del mismo). Asimismo podemos definir el margen de variación como la diferencia entre los valores máximo y mínimo de una magnitud, y el cociente entre el margen de medida y la resolución se denomina margen dinámico (MD). Estos tres conceptos juegan un papel determinante en la base teórica previa al conocimiento del funcionamiento de un sistema de control.

3. Sensor

La palabra se usa por extensión toda una serie de aparatos y dispositivos. Sin embargo entrando mas en detalle se puede decir que el sensor en sí es el elemento primario de medición.
Un sensor o captador, como prefiera llamársele, no es más que un dispositivo diseñado para recibir información de una magnitud del exterior y transformarla en otra magnitud, normalmente eléctrica, que seamos capaces de cuantificar y manipular. Normalmente estos dispositivos se encuentran realizados mediante la utilización de componentes pasivos (resistencias variables, PTC, NTC, LDR, etc... todos aquellos componentes que varían su magnitud en función de alguna variable), y la utilización de componentes activos. Entonces es un dispositivo que recibe una señal o estímulo y responde con una señal eléctrica. Esto es independiente de si el sensor requiere excitación o no para generar la señal eléctrica. Ejemplos: Sensor piezoeléctrico, termopar, galga extensiométrica.omponentes activos.

3.1. Clasificación

Aunque es un poco complicado realizar una clasificación única, debido a la gran cantidad de sensores que existen actualmente, las siguientes son las clasificaciones mas generales y comunes:

I. Un tipo de clasificación muy básico es diferenciar a los sensores entre PASIVOS o ACTIVOS: los sensores activos generan la señal de salida sin la necesidad de una fuente de alimentación externa, mientras que los pasivos si requieren de esta alimentación para poder efectuar su función.

II. Según el tipo de señal que proveen a la salida:

* Todo o nada, son los sensores que solo poseen dos estados, y que, estos estados, únicamente están separados por un valor umbral de la variable monitoreada.

*Digitales, estos sensores proporcionan una señal codificada en pulsos o sistemas como BCD, binario, etcétera.

*Analógicos, estos sensores proporcionan un valor de voltaje o corriente, donde la señal más común utilizada en aplicaciones industriales es un circuito de corriente de 2 hilos y 4-20 mA.

III. Según el tipo de magnitud física a detectar:

a. Medición de temperatura. Pirómetro ópticoPirómetro de radiación.Termistor.Termopar.

b. Medición de esfuerzos y deformaciones.

c. Medición de movimiento.

Grandes distancias: Radar, láser, Ultrasonido, etc.
Distancias pequeñas:Métodos ópticos.Métodos inductivos (LDT y VDT).

Posición linear o angular:Codificadores increméntales.

d. Sensores de Presencia o Proximidad: Inductivos.Capacitivos.Fotoeléctricos.De efecto Hall.Radiación.Infrarrojos.

e. Sistemas de visión artificial:Cámaras CCD.

f. Sensores de humedad y punto de rocío: Humedad en aire – gases.Humedad en sólidos.Punto de rocío.

g. Sensores de caudal. De sólidos, líquidos o gases.Presión diferencial.Medidores magnéticos.Medidores por fuerzas de Coriolis.Medidores de área variable.Medidores de desplazamiento positivo.

h. Sensores de nivel. De líquidos y sólidos.

i. Sensores de presión.

j. Sensores de Fuerza y par: Calibrador de tensión.De array táctil.

k. Sensores de intensidad lumínica.

l. Sensores de aceleración.

m. Sensores de velocidad lineal o angular.

n. Sensores táctiles: Matriz piezoeléctrica, óptica o capacitiva.Matriz de contactos.

Desde el punto de vista de la Ingeniería Electrónica, es más atractiva la clasificación de los sensores de acuerdo con el parámetro variable: resistencia, capacidad, inductancia, añadiendo luego los sensores generadores de tensión, carga o corriente y otros tipos no incluidos en los anteriores grupos.

Así tenemos la siguiente clasificación alternativa:

*Sensores Resistivos: entre los cuales se encuentran los potenciómetros, detectores de temperatura resistivas (RTD), termistores, magnetorresistencias, fotorresistencias (LDR), higrómetros resistivos, resistencias semiconductoras para detección de gases.

*Sensores de Resonancia y Electromagnéticos: el primero se clasifica en sensores capacitivos e inductivos, y el segundo en sensores electromagnéticos.

*Sensores Generadores: se clasifican en sensores termoeléctricos, piezoeléctricos, piroeléctricos, fotovoltaicos y electroquímicos.

*Sensores Digitales: codificadores de posición, sensores autorresonantes.

*Sensores Fotoeléctricos: también conocidos por sensores ópticos que manipulan la luz de forma a detectar la presencia del accionador.

*Otros métodos de detección: son los sensores basados en uniones semiconductoras, en transistores MOSFET, en dispositivos de acoplamiento de caga (CCD), sensores basados en ultrasonidos, en fibras ópticas y los biosensores.

3.2. Interferencias

Son entradas espúreas que el instrumento detecta sin la intención de hacerlo. En un sistema de medida el sensor es el elemento dispuesto expresamente, con la misión de obtener información en forma de señal eléctrica sobre la propiedad medida. Pero no sería razonable esperar, a priori, que por una parte el sensor respondiera exclusivamente a la magnitud de interes, y que por otra el origen de la señales de salida fuera unicamente la señal de entrada. La experiencia demuestra que no es asi y por lo tanto conviene tener en cuenta esta realidad. Las perturbaciones son aquellas señales que afectan indirectamente a la salida debidos a su efecto sobre las características del sistema de medida.

3.3. Compensación de errores

Los efectos de las perturbaciones internas y externas pueden reducirse mediante una alteración
del diseño o a base de añadir nuevos componentes al sistema. De esta manera podemos enumerar las técnicas mas destacadas de compensación de errores:

*Insensibilidad intrínseca: Se trata de diseñar el sistema de forma que sea inherentemente sensible sólo a las entradas deseadas.

*Entradas opuestas: se aplica con frecuencia para compensar el efecto de las variaciones de temperatura. Si, por ejemplo, una ganancia varía con la temperatura por depender de una resistencia que tiene coeficiente de temperatura positivo, puede ponerse en serie con dicha resistencia otra que varíe de forma opuesta (con coeficiente de temperatura negativo) y así mantener constante la ganancia a pesar de los cambios de temperatura.

*Filtrado: Un filtro es todo dispositivo que separa señales de acuerdo con su frecuencia u otro criterio. Si los espectros frecuencia les de la señal y las interferencias no se solapan, la utilización de un filtro puede ser efectiva. El filtro puede ponerse en la entrada o en una etapa intermedia.

*Realimentación Negativa: se aplica con frecuencia para reducir el efecto de las perturbaciones internas, y es el método en el que se basan los sistemas de medida por comparación. Si la realimentación negativa es insensible a la perturbación considerada y está diseñada de forma que el sistema no se haga inestable, resulta entonces que la señal de salida no vendrá afectada por la perturbación.

4. Características estáticas de los sistemas de medida

En muchos de los sistemas de medida, la variable de interés varía de forma lenta, así que basta con conocer las características estáticas del transductor. Si la evolución de la magnitud física es más rápida, será necesario conocer también las características dinámicas. Algunas de las características estáticas más importantes se describen a continuación:

*Exactitud o Precisión (Accuracy): Representa la capacidad de un instrumento de medida de dar indicaciones que se aproximen al verdadero valor de la magnitud medida.

*Fidelidad (Precision): La fidelidad, es la capacidad de un instrumento de dar el mismo valor de la magnitud medida al realizar la medición varias veces en las mismas condiciones.

En la primera figura puede observarse una representación de un sistema con alta fidelidad pero baja exactitud, entras que en la segunda el sistema es más exacto pero menos fiable. Dado que en un sistema fiable el error es predecible y corregible, es más adecuado el primer caso que el segundo.

*El error: Se lo define como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. El error tiene en general variadas causas. Las que se pueden de alguna manera prever, calcular, eliminar mediante calibraciones y compensaciones, se denominan determinísticos o Sistemáticos. Los que no se puede prever, pues dependen de causas desconocidas, o estocásticas se denominan aleatorios. En lineas generales es la discrepancia entre el valor correcto y el obtenido es el error. Puede ser definido como :

a. Error absoluto, como la resta entre el valor obtenido y el valor verdadero

b. Error relativo, como la relación que hay entre el error absoluto y el valor verdadero expresado en tanto por ciento

c. Error referido a fondo escala. Es la forma habitual de expresar el error en los instrumentos y consiste en dividir el error absoluto entre el fondo escala del instrumento.

*Repetibilidad (Reapeatibility): Es el mismo concepto que la fidelidad, salvo que nos referimos a repetibilidad cuando las medidas se realizan en un corto espacio de tiempo.


*Linealidad (Linearity): En muchos casos se asume que la respuesta de los transductores es lineal, facilitando el diseño del sistema de medida y control. Esta suposición introduce errores debido a la no linealidad. Existen varios tipos de linealidad, en función de qué recta se toma como referencia:

a) Linealidad Independiente.- La línea de referencia se define según el método de los mínimos cuadrados. Suele ser la mejor forma de representación.

b) Linealidad ajustada a cero.- La recta se define por el método de los mínimos cuadrados, pero imponiendo que ésta pase por el origen.

c) Linealidad terminal.- La recta se define entre los puntos de respuesta teórica del transductor con la mínima y la máxima entrada admisible.

d) Linealidad a través de los extremos.- La recta se define entre los puntos de respuesta real del transductor con la mínima y la máxima entrada admisible.

e) Linealidad teórica.- La recta se define en función de las previsiones teóricas formuladas al diseñar el transductor.


*Sensibilidad (Sensitivity):Se define la sensibilidad como la pendiente de la curva de calibración que relaciona la salida eléctrica del transductor con la magnitud física.

*Resolución (Resolution):La resolución de un transductor es la variación más débil de la magnitud física capaz de detectar. Si la mínima variación detectable es cero, se dice que el transductor tiene resolución infinita, y los límites de resolución vendrán impuestos por el aparato de medida. Es importante que el transductor tenga la resolución necesaria, ya que en defecto perjudicaría la calidad del sistema de instrumentación, y en exceso supondría un coste innecesario.

*Histéresis: El amortiguamiento mas el rozamientos hace que haya un consumo de energía en la carga y descarga de los instrumentos. Es debido a eso que la curva de calibración ascendente no coincida con la descendente y eso es llamado Histéresis, Baja Histéresis es la capacidad de un instrumento de repetir la salida cuando se llega a la medición en ocasiones consecutivas bajo las mismas condiciones generales pero una vez con la medición de la variable en un sentido (por ejemplo creciente) y en la siguiente con la variable en sentido contrario (por ejemplo decreciente).
Como otros parámetros de especificación de los instrumentos se acostumbra a especificar la histéresis como un valor porcentual de la medición o bien del fondo de escala del instrumento.

*Rango (Range): El rango define los límites superior e inferior entre los cuales puede realizarse la medida. No respetar el rango de medida de un transductor o un instrumento puede ocasionar en error grave en el sistema.

5. Características dinámicas

En los sistemas de medida se pueden encontrar elementos almacenadores de energía. Dichos elementos hacen que la respuesta del transductor a señales de entrada variables, sea distinta de la que presenta cuando las señales son constantes (Características Estáticas), por lo que se hace necesario describir las unas propiedades relacionadas con la evolución temporal de las salidas de los transductores, estas son las Características Dinámicas.

1) Error Dinámico: Es la diferencia entre el valor indicado y el valor exacto de la variable medida, siendo nulo el error estático.

2) Velocidad de Respuesta: Indica la rapidez con que el sistema de medida responde a los cambios en la variable de entrada.

3) Tiempo de Subida o Rise Time (tr): En los sistemas de primer orden y sobreamortiguados,
es el tiempo transcurrido desde que la salida tiene el 10% de su valor final hasta que llega al 90% de dicho valor, aplicando un escalón a la entrada. En los sistemas subamortiguados, es el tiempo que tarda la salida en alcanzar su valor final por primera vez, aplicando un escalón a la entrada.

4) Tiempo de Establecimiento o Settling Time (ts): Es el tiempo que requiere el sistema para que su salida se asiente en un margen del valor final, normalmente el 2 ó 5%.

5) Sobreimpulso (Mp): Es el valor máximo que sobrepasa la salida del sistema a su valor final. Se suele expresar en %.

Las características dinámicas se estudian mediante la aplicación al transductor de señales de entradas variables tipo, como son la entrada impulsiva, escalón, rampa o sinosoidal. Una vez obtenida la respuesta del sensor, ésta se ha de comparar con las de los sistemas dinámicos, para así hallar la descripción matemática que lo modela. Los sistemas dinámicos más empleados
son los de orden cero, uno y dos.

6. Características de entrada.

Las características estáticas y dinámicas no modelan en forma completa los sistemas de medida.
Está el efecto de carga que ejerce el sistema sobre el proceso bajo análisis. Cuando se definió el
sistema de medida se comentó que el sensor tomaba energía del medio. Esta toma de energía
altera de alguna forma el medio. Luego se puede hablar de error de carga como aquel relacionado con la alteración de la variable medida debido al sistema de medida utilizado. Por ejemplo en el caso de sensores eléctricos, este fenómeno queda descrito por la impedancia de entrada.
El valor de esta variable para reducir su efecto sobre la variable a medir queda determinado por el tipo de variable a medir. Si la variable a medir se mide entre dos puntos o dos regiones del espacio, se dice que son variables de esfuerzo, y en ese caso se requiere que la impedancia de entrada del sistema de medida sea alta. Si la variable a medir se pide en un punto o región del espacio se dice que son variables de flujo, en cuyo caso se requiere que la impedancia de entrada sea baja.

7. Errores en los sistemas de medida y su análisis

El resultado de toda medición siempre tiene cierto grado de incertidumbre. Esto se debe a las limitaciones de los instrumentos de medida, a las condiciones en que se realiza la medición, así como también, a las capacidades del experimentador. Es por ello que para tener una idea correcta de la magnitud con la que se está trabajando, es indispensable establecer los límites entre los cuales se encuentra el valor real de dicha magnitud. La teoría de errores establece estos límites. Los errores de un sistema se determinan a partir de su calibración, que consiste en aplicarle entradas conocidas y comparar su salida con la obtenida con un sistema de medida de referencia más exacto. Según su efecto en la característica de transferencia, los errores pueden ser de cero, de ganancia y de no linealidad.

8. Incertidumbre de las Medidas

Al realizar el proceso de medición, el valor obtenido y asignado a la medida diferirá probablemente del “valor verdadero” debido a causas diversas, alguna de las cuales nombraremos más adelante. El llamado “valor verdadero” es en realidad un concepto puramente teórico y absolutamente inaccesible. En el proceso de medición únicamente pretendemos estimar de forma aproximada el valor de la magnitud medida. Para ello debemos dar un número con sus unidades y una estimación del error.

Dicho de otra manera, el resultado de cualquier medida es siempre incierto y a lo más que una declaración de la incertidumbre es una estimación cuantitativa de los límites dentro de los cuales se supone que se encuentra el valor verdadero de una medición. La incertidumbre puede expresarse como una desviación típica o equivalente o como un intervalo de confianza correspondiente a una probabilidad declarada.

Al obtener o estimar la incertidumbre asociada a un método, es esencial asegurarse de que la estimación considera explícitamente todas las fuentes posibles de incertidumbres. Se calculará la incertidumbre en los estudios de validación del método analítico o estudios similares efectuados por el laboratorio, quedando archivados los datos obtenidos junto con el procedimiento de ensayo correspondientepodemos aspirar es a estimar su grado de incertidumbre.
Es esencial estimar ésta incertidumbre, primero porque el conocimiento de la incertidumbre aumenta la información que proporciona la medida, y segundo, porque este conocimiento permite manejar las medidas con la prudencia que dicta el conocimiento de la confianza que nos merecen.

9. Error Sistemático

Se deben a fallas de los instrumentos, como partes defectuosas o gastadas, y efectos ambientales sobre el equipo del usuario. Son errores propios del operario, del método empleado para tomar las medidas o de las circunstancias en las que estas se realizan. Se pueden corregir durante el proceso de calibración del sensor. Estos errores se reproducen en el curso de varias medidas hechas en las mismas condiciones. Si el valor medido permanece constante o varía de acuerdo a una ley definida según las condiciones de medida, el error sera de tipo sistemático.
Algunos ejemplos son: Errores de medida, de calibración, de montaje, de alimentación o de ruido eléctrico debido a un mal apantallamiento.

Los errores sistemáticos no son objeto de la teoría de errores. Realmente son equivocaciones que pueden y deben evitarse, empleando métodos e instrumentos de medida correctos y adecuados a los fines que se deseen obtener.

10. Error Aleatorio

Los errores aleatorios generalmente son la acumulación de un gran número de errores muy pequeños cuyo origen es difícil de identificar. Estos errores normalmente son de preocupación para mediciones con un alto grado de exactitud. Los errores aleatorios se pueden analizar estadísticamente. Estos errores son producidos de forma fortuita y por tanto inevitables. Ya que siguen un patrón aleatorio, su media en el tiempo será nula, por lo que pueden evitarse realizando varias medidas. El valor absoluto de estos errores suele ser pequeño, de forma que no afectan de forma significativa a la medida.

11. Errores Estáticos y Errores Dinámicos

Un error estatico tiende a producirse en señales cuyas frecuencias son muy bajas; pueden ser constantes respecto a la magnitud de entrada o puede que varíen con esta. En el primer caso se denominan errores aditivos y en el segundo caso se denominan multiplicativos. Este error normalmente se origina por las limitaciones de los dispositivos de medición o las leyes físicas que gobiernan su comportamiento. Los errores estáticos aditivos son de naturaleza constante por ejemplo el voltaje de offset, mientras que los errores multiplicativos son directamente proporcionales a la señales de entrada, a saber los errores de ganancia.

Los errores dinámicos se producen siempre que las condiciones sean de cambio continuo existirá un error que se presentará en retrasos en la medición. Esto está influido por el tipo de acoplamiento, los materiales, el proceso a medir, etc. El error dinámico de un sistema depende de su orden y de la forma de la señal de entrada. Las señales consideradas habitualmente son el escalón, la rampa y las senoidales. Los sistemas de orden cero no tienen error dinámico. Los sistemas de primer y de segundo orden tienen un error dinámico para las entradas en rampa y senoidales, incluso en régimen estacionario, y tienen un error dinámico para las entradas en escalón sólo durante la fase transitoria. Cabe resaltar que el error dinámico puede presentarse tanto en la entrada (fase transitoria) en la aplicación del estímulo, por ejemplo los retardos y las polarizaciones, asimismo pueden ocurrir errores dinámicos en el período estacionario durante la estabilización de la señal, como por ejemplo el ruido, el ancho de banda y los desfases.

12. Forma de expresar los errores

Un error se lo define como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. El error tiene en general variadas causas. Las que se pueden de alguna manera prever, calcular, eliminar mediante calibraciones y compensaciones, se denominan determinísticos o Sistemáticos. Los que no se puede prever, pues dependen de causas desconocidas, o estocásticas se denominan aleatorios.
La magnitud de un error se puede expresar como error absoluto, como error relativo o como error referido a fondo escala. El error absoluto es la diferencia entre el resultado y el verdadero valor (o valor ideal). El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el verdadero valor. El error absoluto se expresa a veces como porcentaje de una magnitud de referencia, por ejemplo el valor de fondo de escala.

12.1 Error Absoluto

Error absoluto es la imprecisión que acompaña a la medida. Nos da idea de la sensibilidad del aparato o de lo cuidadosas que han sido las medidas por lo poco dispersas que resultaron.

Ea=imprecisión=incertidumbre

El error absoluto indica el grado de aproximación y da un indicio de la calidad de la medida. El conocimiento de la calidad se complementa con el error relativo.

Valor medido= x= δx (unidad)

lo que se quiere decir es que la magnitud medida se encuentran en el intervalo(x-δx, x+δx) con una determinada probabilidad. Con una medida logramos acotar el intervalo de valores en los que se encuentra la magnitud que pretendemos medir, pero siempre con una determinada probabilidad.

12.2 Error Relativo

El error relativo es el que nos indica la calidad de la medida. Es el cociente entre el error absoluto y el valor que damos como representativo (la media aritmética).

Error relativo= δx/ x

En medidas de una cierta calidad el error relativo debe ser mucho menor que la unidad.
Frecuentemente se expresa multiplicado por 100, con lo que aparece en tanto por ciento del valor medido:

Error relativo (%)= - δx/ x *100

Se puede dar en % de error relativo. En efecto, si cometemos un error absoluto de un metro al medir la longitud de un estadio de fútbol de 100 m y también un metro al medir la distancia Santiago-Madrid, de aproximadamente 600.000 m, el error relativo será 1/100 (1%) para la medida del estadio y 1 /600.000 para la distancia Santiago-Madrid. Tiene mucha más calidad la segunda medida.

13.Cifras Significativas

Se dice que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.
Como se mencionó más atrás, las cifras significativas son las cifras consideradas correctas en una medida. Pero, ¿cómo de correctas? La respuesta nos la da el convenio de cifras significativas al asumir que la incertidumbre de un dato experimental expresado con cifras significativas es siempre inferior a una unidad de la última cifra. Un ejemplo numérico sirve para aclarar la aplicación e interpretación de este convenio. En el caso de la longitud medida con la regla, si está de acuerdo con el convenio de cifras significativas, el error asociado sería de ±1 mm. Podríamos entonces escribir el resultado como:

14.2 ± 0.1 cm

No obstante, lo más cómodo es omitir el término ± 0.1 y suponer entonces que está implícito en cualquier magnitud expresada con cifras significativas.

Reglas de operaciones con cifras significativas

Regla 1: Los resultados experimentales se expresan con sólo una cifra dudosa, e indicando con ± la incertidumbre en la medida.
Regla 2: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente de cero y hasta el dígito dudoso.
Regla 3: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.
Atención: Un caso de especial interés es el de la resta. Citemos el siguiente ejemplo: 30,3475 – 30,3472 = 0,0003
Observemos que cada una de las cantidades tiene seis cifras significativas y el resultado posee tan solo una. Al restar se han perdido cifras significativas. Esto es importante tenerlo en cuenta cuando se trabaja con calculadoras o computadores en donde haya cifras que se sumen y se resten. Es conveniente realizar primero las sumas y luego las restas para perder el menor número de cifras significativas posible.
Regla 4: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.

14. Redondeo de números

Hemos visto que todos los números resultantes de una medida tienen una cierta incertidumbre. Es necesario eliminar de estos números aquellas cifras que carecen de significado porque el error es mayor que lo que estas cifras significan. Por ejemplo, el resultado de la medición de una temperatura se expresa en la forma:

T=301.267+-0.3K

Incorrecto, puesto que las dos últimas cifras (67) no tienen significado alguno, al ocupar una posición menor que el error. La forma de expresar el resultado anterior podría ser:

T=301.2+-0.3K

Aunque la forma correcta es 301.3 +- 0.3K puesto que 301.267 esta mas cerca de 301.3 que de 301.2.

Es importante resaltar las reglas que se emplean en el redondeo de números, estas son las siguientes:

* Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más.
* Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra
retenida.
* Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es
decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.
* Algunos ejemplos. Si redondeamos 3,678 a tres cifras significativas, el resultado es
3,68, que está más cerca del original que 3,67. En cambio si el número a redondear,
también a tres cifras, fuera 3,673, quedaría 3,67 que es más próximo al original que
3,68. Para redondear 3,675, según la tercera regla, debemos dejar 3,68.
*Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque, si
se sigue siempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso.
*Cuando los números a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se sustituyen por ceros.
Por ejemplo, el número 3875 redondeado a una cifra significativa resulta 4000.

15. Errores de cero, ganancia y no linealidad

Aun cuando el valor de la variable del proceso esté en el mínimo del rango, donde la salida del instrumento debe ser el valor asociado al cero del rango ( en corriente por ejemplo 4mA), el instrumento marca a su salida un valor distinto de cero.
Ese valor es el error de cero. En general existen en los instrumentos sistemas para anular, o compensar el error de cero, estos sistemas pueden ser ajustes mediante movimientos en el instrumento o bien por software.

El error de ganancia es proporcional al valor de la entrada, se expresa como la diferencia entre la pendiente de la característica real y la ideal, se expresa en tanto por ciento por una entrada del fondo de escala.

En control clásico la linealidad se toma como un requisito puesto que toda la teoría se basa en ese tipo de dinámica de sistemas (ecuaciones diferenciales lineales).
Si bien esto ha sido superado la falta de la linealidad siempre representa complicaciones por lo que: la linealidad de los instrumentos de medición y control siempre es una característica buscada.
Si el proceso es lento respecto de la dinámica del instrumento se puede pensar que el mismo se establece en el valor de la medición a una velocidad mucho mayor que los cambios que puede efectuar la variable medida. En estas condiciones se puede considerar que el instrumento tiene una alinealidad estática es decir no tengo en cuenta su dinámica. Así puedo tener una curva de calibración levantada en condiciones estáticas y usarla para compensar las alienealiades del instrumento.
En la práctica las compensaciones del sistema de acondicionamiento de señales llega a eliminar en gran medida los errores por alinealidad, pero en una cierta persisten, y se suelen expresar en valor porcentual de la máxima desviación respecto de la salida lineal en todo el rango del instrumento respecto del valor del fondo de escala del mismo.

16 Estimación del error de una medida directa

Una medida directa es aquella que se realiza aplicando un aparato para medir una magnitud, por ejemplo, medir una longitud con una cinta métrica .
Las medidas indirectas calculan el valor de la medida mediante una fórmula (expresión matemática), previo cálculo de las magnitudes que intervienen en la fórmula por medidas directas. Un ejemplo sería calcular el volumen de una habitación.
Los instrumentos analógicos tienen, normalmente, una escala con divisiones frente a la que se mueve una aguja. En teoría la aguja pasa frente a los infinitos puntos de la escala.
La estimación del error de una medida tiene siempre una componente subjetiva. En efecto, nadie mejor que un observador experimentado para saber con buena aproximación cuál es el grado de confianza que le merece la medida que acaba de tomar, es por ello que mediante ciertos parámetros estadisticos es posible buscar concentrar una mayor objetividad de nuestras mediciones.

16.1 Mejor valor de un conjunto de Medidas

El método para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor medio. En efecto, si los errores son debidos al azar, tan probable es que ocurran por defecto como por exceso, y al hacer la media se compensarán, por lo menos parcialmente.Si tiene n medidas entonces el valor medio es la sumatoria de todas esas medidas entre el numero de las mismas, este es el valor que debera darse como resultado de las medidas. De esta forma podemos determinar el mejor valor empleando la siguiente fórmula:

16.2 Dispersión y error. Desviacion estándar.

El error de la medida debe estar relacionado con la dispersión de los valores; es decir, si todos los valores obtenidos en la medición son muy parecidos, es lógico pensar que el error es pequeño, mientras que si son muy diferentes, el error debe ser mayor. Tambien puede decirse que el error es la semi diferencia entre el valor máximo y el mínimo.

Adoptando un criterio pesimista, podría decirse que el error es la semidiferencia entre el valor máximo y el mínimo. De esta manera el valor resultante es llamado desviacion estándar de poblacion.

Cuando el número de datos es pequeño, suele preferirse el cálculo de la desviación estándar muestral por la ecuación:

16.3 Significado de la desviacion estandar. La distribución normal

La desviación estándar (o desviación típica) es una medida de dispersión para variables de razón (ratio o cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva. Es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética, expresada en las mismas unidades que la variable.
Para abordar las cuestiones que comentábamos en el párrafo anterior, nos valemos de herramientas como la varianza y la desviación estándar. Ambas medidas están estrechamente relacionadas ya que definimos una a partir de la otra.
Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que representan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.
La desviación estándar (DS/DE), también llamada como desviación típica, es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores puntuales del promedio en una distribución. De hecho, específicamente, la desviación estándar es "el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma, .
La desviación estándar de un conjunto de datos es una medida de cuánto se desvían los datos de su media. Esta medida es más estable que el recorrido y toma en consideración el valor de cada dato.
Es posible calcular la desviación estándar de una variable aleatoria continua como la raíz cuadrada de la integral:

La forma de representar en estadística una distribución es representando en abscisas el conjunto de valores que pueden obtenerse en una medida y en ordenadas la probabilidad de obtenerlos. En el caso de que la magnitud medida varíe de forma continua, en ordenadas se representa la probabilidad por unidad de intervalo de la magnitud medida. En una distribución continua, la probabilidad de que una medida esté entre dos valores x0 y x1 viene representada por:

Donde f(x) es la función de densidad de la distribución. La función de densidad representa la probabilidad (por unidad de intervalo de la magnitud medida) de obtener un determinado valor en una medida. Obviamente:

La funcion de densidad de la distribucion normal tiene el aspecto de campana, razon por la cual es llamada campana de Gauss, esta caracterizado por dos parámetros: media y desviación estándar. Asi pues tenemos que, la desviación estándar refleja lo abierta o cerrada que es la campana de Gauss y la media es el valor que aparecerá con mas frecuencia en la medida. De esta forma mientras mas cerrada sea la distrubución muy poco dispersas serán las medidas y por ende poco error.

16.4. Medidas sin dispersión. Error de lectura o instrumental

En ocasiones la repetición de la medida de una magnitud conduce siempre al mismo valor.Como ejemplo, consideremos la medida de la longitud de un objeto con una regla graduada en milímetros. Si la medida se realiza con cierta atención, todas las medidas del objeto proporcionan el mismo valor.

Es evidente que en este caso la teoría anterior no resulta aplicable, porque al ser nula la dispersión, la desviación estándar resulta igual a cero. En estos casos, la fuente de error no está en la superposición de muchas causas aleatorias, sino en la sensibilidad del aparato de medida.En efecto, el hecho de que todas las medidas sean iguales no indica en general que no haya error accidental, sino que éste es demasiado pequeño para quedar reflejado en el aparato. En el ejemplo anterior, si el error accidental de las medidas es del orden de 0,001 mm es evidente que la regla no podrá apreciarlo, resultando todas las medidas iguales.

En estos casos es necesario estimar el error debido a la sensibilidad finita del aparato de medida.Es frecuente expresar el error instrumental o de lectura eins de forma que en el intervalo (me-ins, m+eins) haya un 68 % de probabilidad de encontrar el valor de magnitud medida.En resumen, el error instrumental de una medida se expresa frecuentemente por:

eins= s/3

Donde: s es la sensibilidad del aparato de medida.Hemos visto que cuando el error instrumental es mucho mayor que el accidental, éste queda enmascarado por aquel. El efecto inverso es también posible. Por tanto, en los casos en que el error accidental de una medida sea mucho mayor que el instrumental, sólo consideraremos el error accidental. En aquellos casos en que los errores sean del mismo orden de magnitud, puede considerarse que el error total es la suma de los dos:

e= eins + σ

donde eins es el error instrumental y σ es el error accidental expresado por la desviación estándar.

16.5 Propagación de errores

Cuando se resuelve un problema matemático por métodos numéricos y aunque las operaciones se lleven a cabo exactamente, obtenemos una aproximación numérica del resultado exacto. Es importante tratar de conocer el efecto que sobre el resultado final del problema tiene cada una de las operaciones realizadas.
Para estudiar como se propaga en error, veamos cual es el efecto que cada una de las operaciones básicas tiene sobre el error final cuando se aplican sobre dos números :

X1+/-Ea(X1) y X2+/- Ea(X2)
Ea(X1 + X2) = Ea (X1) + Ea (X2)

Ea(X1 - X2) = Ea (X1) + Ea (X2)

Er(X1 * X2) = Er (X1) + Er (X2)

Er(X1/X2) = Er (X1) + Er (X2)

Cuando el problema consiste en calcular el resultado y = f(x)tenemos la siguiente fórmula aproximada de propagación del error:

En el caso más general, en que una función depende de más de una variable ( y= f (X1, X2,..., Xn), la fórmula aproximada de propagación del error maximal es:

16.6 El Ajuste por minimos cuadrados

Uno de los tipos más comunes e interesantes de experimento involucra la medición de varios valores de dos diferentes variables físicas a fines de investigar la relación matemática entre las dos variables. Sin embargo, en dichos experimentos el ajuste de los datos a una función propuesta, tal como una línea recta, fue realizada en forma cualitativa, es decir, a ojo. Existen formas cuantitativas de encontrar el valor de los parámetros que mejor representan a un conjunto de datos.

Probablemente, los experimentos más comunes son aquellos para los cuales la relación esperada entre las variables es lineal. Por ejemplo, si creemos que un cuerpo está cayendo con aceleración constante g, entonces su velocidad v debería ser una función lineal del tiempo t,

v = v0 + gt

En forma más general, consideraremos un par cualquiera de variables físicas x e y de las cuales sospechemos que están relacionadas por una relación lineal de la forma

y = A + Bx,

donde A y B son constantes. Si las dos variables y y x están relacionadas de esta manera, entonces un gráfico de y versus x debiera resultar en una línea recta de pendiente B, que intersecta al eje y en y = A. Si medimos N diferentes valores de x y los correspondientes valores de y, y si nuestras mediciones no están sujetas a incerteza alguna, entonces cada uno de los puntos (xi, yi) caería exactamente sobre la línea y = A + Bx. En la práctica, existen incertezas, y lo mejor que podemos esperar es que la distancia entre cada punto y la recta sea razonable comparada con las incertezas, tal como en el caso de la siguiente figura:

Las inevitables incertezas experimentales se muestran a través de las barras de error, y sólo podemos esperar que los puntos estén razonablemente cerca de la recta. En este caso, sólo la variable y está sujeta a incertezas apreciables.

Cuando realizamos una serie de mediciones de este tipo, podemos hacernos dos preguntas. En primer lugar, si tomamos por garantido que y y x están relacionadas linealmente, entonces el problema es encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a las mediciones, es decir, las mejores estimaciones para los valores de A y B. Este problema puede tratarse gráfica o analíticamente. El método analítico de encontrar la mejor recta que se ajusta a una serie de datos experimentales es llamado regresión lineal, o ajuste de mínimos cuadrados para una recta.
La segunda pregunta que surge es si los valores medidos realmente llenan nuestras expectativas acerca de la linealidad entre y y x. Para contestar a esta pregunta, deberíamos primero encontrar la recta que mejor se ajusta a los datos, y además encontrar alguna forma de medir qué tan bien esta línea se ajusta a los datos. Si conocemos las incertezas asociadas a los datos, como en el caso de la figura 5, podemos evaluar el ajuste visualmente. Si no tenemos una estimación confiable de las incertezas, entonces tenemos que analizar la bondad del ajuste examinando la distribución de los puntos mismos.


Vayamos a la cuestión de encontrar la recta y = A + Bx que mejor se ajusta a un conjunto de puntos (x1, y1),..., (xN, yN). Para simplificar nuestra discusión, supondremos que sólo las incertezas de la variable y son apreciables. Esta suposición es frecuentemente muy razonable, porque es común el caso en que las incertezas en una variable son muchos más grandes que en la otra. Supondremos además que todas las incertezas en y tiene la misma magnitud. (Esta suposición es también razonable en muchos experimentos. Si las incertezas fueran diferentes, existen formas de generalizar el análisis dándole un peso adecuado a las distintas mediciones).
Si conociéramos las constantes A y B, entonces, para cualquier valor xi podríamos calcular el verdadero valor yi que le corresponde:

(verdadero valor de yi) = A + B xi

La desviación de esta magnitud respecto al valor medido se puede escribir entonces como:

dyi = yi – (A + B xi)

Intuitivamente, vemos que un criterio razonable para elegir la recta que mejor se ajusta a los puntos experimentales es elegir aquella que minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones individuales d yi. Esto significa que el valor de los parámetros A y B estará dado por las siguientes dos condiciones:

La resolución simultánea de estas ecuaciones resulta en las expresiones siguientes:

Como vemos, la aplicación del criterio de minimización de la suma de los cuadrados de las desviaciones resulta en la obtención de resultados objetivos para los parámetros A y B. Además de que este criterio es intuitivamente razonable, se puede demostrar que si la medición de cada yi está gobernada por una distribución Gaussiana, entonces la mejor estimación de los parámetros A y B es aquella que minimiza la suma S(dyi)2. La desviación estándar de la pendiente y la ordenada al origen se calculan en términos de la desviación estándar s y de la distribución de valores de dyi alrededor de la mejor recta (en el sentido de los cuadrados mínimos). Esta desviación estándar está dada por:

El factor (N – 2) obedece a razones que no demostraremos aquí, y que están ligadas al número de grados de libertad disponibles. (Para una justificación estadística más profunda refiérase a la bibliografía sugerida). Usando esta expresión para la incerteza de los valores medidos yi, podemos usar propagación de errores para escribir las incertezas en las cantidades A y B:

De esta forma, la aplicación del criterio de cuadrados mínimos nos ha permitido encontrar la mejor estimación de los parámetros A y B, así como también su incerteza. Es fácil demostrar que si por alguna razón tenemos motivos para suponer que la mejor recta debe pasar por el origen de coordenadas, o sea que es de la forma y = Bx, entonces la mejor estimación para la constante B es: